problem是可数还是不可数名词

那天，我在咖啡店角落里翻看一本老掉牙的词典，突然，一个词跳进了我的视线——“problem”。我记得我小时候学英语时，总是混淆可数和不可数名词，那时候，我爷爷就会用生活中的小例子来帮我理解。
我记得有一次，爷爷带我去逛超市，我们买了很多东西，有香蕉、苹果、橙子，这些都是可数名词，因为我们可以数出具体的个数。但是，爷爷说，如果我们在超市里遇到了一个“problem”，那就是不可数名词了，因为问题就像空气一样，无处不在，无法计数。
我想，时间都去哪儿了？转眼间，我已经从那个对英语一知半解的小孩子，变成了一个“10年问答老兵”。那么，问题（problem）是可数还是不可数呢？等等，还有个事，我突然想到，好像在很多情况下，人们都是把“problem”当作可数名词来使用的，比如“have a problem”或者“solve the problem”。
不过，细节呢？我需要查阅一下资料，找到确切的答案。那么，你有没有想过，为什么有些词在不同的语境下，其可数性会发生变化呢？